Funkcja addytywna (teoria liczb)

Ten artykuł dotyczy własności funkcji w teorii liczb. Zobacz też: addytywność funkcji w algebrze i analizie, addytywność funkcji zbioru oraz addytywność w fizyce.

Funkcja ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ jest funkcją addytywną w teorii liczb, gdy dla wszystkich względnie pierwszych liczb ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ zachodzi

${\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n).}$

Jeżeli powyższy związek zachodzi dla dowolnych liczb ${\displaystyle m}$ oraz ${\displaystyle n,}$ to funkcję nazywa się całkowicie addytywną.

Przykładem funkcji całkowicie addytywnej jest ${\displaystyle \Omega (n)}$ równa liczbie czynników w rozkładzie ${\displaystyle n}$ na czynniki pierwsze. Przykładem funkcji addytywnej, ale nie całkowicie addytywnej, jest ${\displaystyle \omega (n)}$ równa liczbie różnych liczb pierwszych dzielących ${\displaystyle n.}$ Wszystkie monotoniczne funkcje addytywne są wielokrotnościami logarytmu. Jeśli ${\displaystyle f(n)}$ jest funkcją multiplikatywną i dodatnią, to ${\displaystyle \log(f(n))}$ jest funkcją addytywną.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Additive Function, MathWorld, Wolfram Research  (ang.). .
• Additive arithmetic function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, .