Liczby całkowite
Wygląd przypnij ukryj
Oś liczbowa ukazująca niektóre liczby całkowite
Standardowy symbol zbioru liczb całkowitych
Liczby całkowite – zbiór obejmujący:
- liczby naturalne z zerem N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}} ;
- liczby przeciwne do nich: { 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … } {\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}} .
;
Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.
Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , od niemieckiego Zahl – liczba. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia, choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol C {\displaystyle \mathbf {C} } – inicjał nazwy polskiej.
– Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Definicja formalna
Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru N 0 × N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}} relacji równoważności
( a , b ) ∼ ( c , d ) ⟺ a + d = b + c . {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c.}
relacji równoważności
Intuicyjnie ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} reprezentuje różnicę a − b . {\displaystyle a-b.}
reprezentuje różnicę
a
−
b
.
{\displaystyle a-b.}
Niech {\displaystyle } oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze N 0 × N 0 / ∼ {\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}/\sim } definiuje się jako:
+ = , {\displaystyle +=,} ⋅ = . {\displaystyle \cdot =.}
oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle (a,b).}
Wówczas dodawanie i 
definiuje się jako:
⋅
=
.
{\displaystyle \cdot =.}
Liczby
,
{\displaystyle ,}
dla których
a
>
b
{\displaystyle a>b}
nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby
,
{\displaystyle ,}
dla których
a
<
b
{\displaystyle a<b}
nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
dla których
a
>
b
{\displaystyle a>b}
nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
Własności
Algebraiczne
Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.
Zerem tego pierścienia jest , {\displaystyle ,} elementem przeciwnym do {\displaystyle } jest element . {\displaystyle .} Jedynką jest . {\displaystyle .}
elementem przeciwnym do
{\displaystyle }
Jedynką jest
.
{\displaystyle .}
Podzbiór elementów postaci {\displaystyle } jest izomorficzny z N 0 . {\displaystyle \mathbb {N} _{0}.}
jest izomorficzny z
N
0
.
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}.}
Ponieważ = + {\displaystyle =+} oraz {\displaystyle } elementem przeciwnym do , {\displaystyle ,} więc
= − . {\displaystyle =-.}
oraz
{\displaystyle }
elementem przeciwnym do
,
{\displaystyle ,}
więc
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Liczność
Zbiór liczb całkowitych Z {\displaystyle \mathbb {Z} } jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna f : Z → N {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} } przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
f ( x ) = { 2 x , gdy x > 0 − 2 x + 1 , gdy x ⩽ 0 . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x,&{\text{gdy }}x>0\\-2x+1,&{\text{gdy }}x\leqslant 0\end{cases}}.}
gdyż istnieje 
przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b Liczby całkowite, Encyklopedia PWN .
- ↑ Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia. Dz.U. 2018, poz. 467. s. 293. .
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Integer, MathWorld, Wolfram Research (ang.). .
Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .
| podstawowe typy liczb | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| działania |
| ||||||||
| ułamki | |||||||||
| symbole |
| ||||||||
| reguły zapisu | |||||||||
| prawa działań | |||||||||
| narzędzia |
| ||||||||
| powiązane pojęcia | |||||||||
| rozszerzenia |
| liczby tworzące zbiory |
|
|---|---|
| liczby tworzące klasy właściwe | |
| powiązane pojęcia |
- PWN: 3932364
- Britannica: topic/integer
- SNL: heltall
- Catalana: 0234541, 0234544
- DSDE: Z_-_matematisk_begreb, heltal