Pentagramma mirificum

Pentagramma mirificum (łac. cudowny pentagram) – w geometrii sferycznej wielokąt gwiaździsty złożony z pięciu łuków kół wielkich, którego wszystkie kąty wewnętrzne są proste. Figurę tę opisał John Napier w pracy Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis cudownej tabeli logarytmów) z roku 1614 wraz z regułą Nepera, która wiąże wartości funkcji trygonometrycznych pięciu części trójkąta sferycznego prostokątnego (dwóch kątów i trzech boków). Własności pentagramma mirificum badał między innymi Carl Friedrich Gauss^[1].

Na sferze miarą kąta wyraża się zarówno kąty, jak i boki trójkątów sferycznych (łuki kół wielkich). Kąty ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ i ${\displaystyle E}$ są proste. Miara łuków ${\displaystyle PC,}$ ${\displaystyle PE,}$ ${\displaystyle QD,}$ ${\displaystyle QA,}$ ${\displaystyle RE,}$ ${\displaystyle RB,}$ ${\displaystyle SA,}$ ${\displaystyle SC,}$ ${\displaystyle TB}$ i ${\displaystyle TD}$ wynosi ${\displaystyle \pi /2.}$ W pięciokącie sferycznym ${\displaystyle PQRST}$ każdy wierzchołek jest biegunem przeciwległego boku. Na przykład punkt ${\displaystyle P}$ jest biegunem równika ${\displaystyle RS,}$ punkt ${\displaystyle Q}$ – biegunem równika ${\displaystyle ST}$ i tak dalej^[2]. Miara kąta zewnętrznego przy każdym wierzchołku pięciokąta ${\displaystyle PQRST}$ jest równa mierze przeciwległego boku. Na przykład ${\displaystyle \angle APT=\angle BPQ={\overset {\frown }{RS}},}$ ${\displaystyle \angle BQP=\angle CQR={\overset {\frown }{ST}}}$ i tak dalej. Koła Nepera trójkątów ${\displaystyle APT,}$ ${\displaystyle BQP,}$ ${\displaystyle CRQ,}$ ${\displaystyle DSR}$ i ${\displaystyle ETS}$ są obrócone względem siebie.

Gauss wprowadził oznaczenia

${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(\operatorname {tg} ^{2}TP,\operatorname {tg} ^{2}PQ,\operatorname {tg} ^{2}QR,\operatorname {tg} ^{2}RS,\operatorname {tg} ^{2}ST).}$

Zachodzą następujące tożsamości, które pozwalają na wyznaczenie dowolnych trzech z powyższych wielkości na podstawie dwóch pozostałych^[3]:

${\displaystyle 1+\alpha =\gamma \delta ,}$

${\displaystyle 1+\beta =\delta \epsilon ,}$

${\displaystyle 1+\gamma =\epsilon \alpha ,}$

${\displaystyle 1+\delta =\alpha \beta ,}$

${\displaystyle 1+\epsilon =\beta \gamma .}$

Gauss udowodnił następującą „piękną równość” (schöne Gleichung)^[3]:

${\displaystyle 3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon ={\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}.}$

Spełniają ją na przykład liczby ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon )=(9,2/3,2,5,1/3),}$ których iloczyn ${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon }$ wynosi ${\displaystyle 20.}$

Dowód pierwszej części równości:

${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta \varepsilon }$ ${\displaystyle {}=\alpha \beta \gamma \left({\frac {1+\alpha }{\gamma }}\right)\left({\frac {1+\gamma }{\alpha }}\right)}$ ${\displaystyle {}=\beta +\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \beta \gamma }$ ${\displaystyle {}=\beta +1+\delta +1+\varepsilon +\alpha (1+\varepsilon )}$ ${\displaystyle {}=2+\alpha +\beta +\delta +\varepsilon +1+\gamma }$ ${\displaystyle {}=3+\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon \quad {}}$ c.b.d.u.

Dowód drugiej części równości:

${\displaystyle {\sqrt {(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )(1+\delta )(1+\varepsilon )}}}$ ${\displaystyle {}={\sqrt {\!^{^{^{\!}}}\alpha \beta \cdot \beta \gamma \cdot \gamma \delta \cdot \delta \varepsilon \cdot \varepsilon \alpha }}}$ ${\displaystyle {}={\sqrt {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle {}=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon \quad {}}$ c.b.d.u.

Również od Gaussa^[3] pochodzi wzór

${\displaystyle (1+i{\sqrt {\!^{^{\!}}\alpha }})(1+i{\sqrt {\beta }})(1+i{\sqrt {\!^{^{\!}}\gamma }})(1+i{\sqrt {\delta }})(1+i{\sqrt {\!^{^{\!}}\varepsilon }})=\alpha \beta \gamma \delta \varepsilon e^{iS_{PQRST}},}$

gdzie ${\displaystyle S_{PQRST}=2\pi -(|{\overset {\frown }{PQ}}|+|{\overset {\frown }{QR}}|+|{\overset {\frown }{RS}}|+|{\overset {\frown }{ST}}|+|{\overset {\frown }{TP}}|)}$ to pole powierzchni pięciokąta ${\displaystyle PQRST.}$

Obrazem pięciokąta sferycznego ${\displaystyle PQRST}$ w rzucie gnomonicznym (rzucie o środku w środku sfery) na dowolną płaszczyznę styczną do sfery jest pięciokąt prostoliniowy. Jak wiadomo, przez jego pięć wierzchołków ${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$ przechodzi dokładnie jedna krzywa stożkowa; w tym wypadku jest to elipsa. Gauss wykazał, że wysokości pięciokąta ${\displaystyle P'Q'R'S'T'}$ (proste przechodzące przez wierzchołki i prostopadłe do przeciwległych boków) przecinają się w jednym punkcie ${\displaystyle O',}$ który jest obrazem punktu styczności płaszczyzny rzutu i sfery^[4].

Arthur Cayley zauważył, że jeśli obrać środek układu współrzędnych kartezjańskich w punkcie ${\displaystyle O',}$ to między współrzędnymi wierzchołków ${\displaystyle P'Q'R'S'T'{:}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{5},y_{5})}$ zachodzi związek ${\displaystyle x_{1}x_{4}+y_{1}y_{4}}$ ${\displaystyle {}=x_{2}x_{5}+y_{2}y_{5}}$ ${\displaystyle {}=x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}}$ ${\displaystyle {}=x_{4}x_{2}+y_{4}y_{2}}$ ${\displaystyle {}=x_{5}x_{3}+y_{5}y_{3}=-\varrho ^{2},}$ gdzie ${\displaystyle \varrho }$ to długość promienia sfery^[5].

• Pentagramma mirificum w serwisie YouTube