Procent składany

Procent składany – sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób „składają się” na zysk wypracowywany w okresie następnym. Zastosowanie reguły procentu składanego daje szybszy wzrost wartości kapitału niż zastosowanie procentu prostego. Im częstsza kapitalizacja, tym kapitał wzrasta szybciej. Przypadek graniczny, w którym odstęp między kapitalizacjami maleje do zera, nosi nazwę kapitalizacji ciągłej.

Oznaczenia

• ${\displaystyle V_{0}}$ – kapitał początkowy^[1] zwany wartością bieżącą,
• ${\displaystyle V}$ – kapitał końcowy, inaczej: kapitał po ${\displaystyle n}$ latach, wartość przyszła,
• ${\displaystyle m}$ – liczba kapitalizacji w roku lub równoważnie liczba okresów oprocentowania w roku (np. jeśli kapitalizacja odsetek następuje co pół roku, przyjmujemy ${\displaystyle m=2;}$ jeśli kapitalizacja odsetek następuje co kwartał, przyjmujemy ${\displaystyle m=4}$),
• ${\displaystyle n}$ – liczba lat do zapadalności depozytu. Zakładamy, że długość okresu do zapadalności jest wielokrotnością długości okresów oprocentowania,
• ${\displaystyle r}$ – nominalna roczna stopa procentowa w postaci ułamka dziesiętnego (np. jeśli ${\displaystyle r=5\%,}$ to wstawić należy do poniższych wzorów ułamek dziesiętny ${\displaystyle 0{,}05}$),
• ${\displaystyle e}$ – liczba Eulera.

Kapitalizacja następuje tylko raz w roku, czyli ${\displaystyle m=1{:}}$^[2]

${\displaystyle V=V_{0}\cdot \left(1+r\right)^{n}.}$

Kapitalizacja następuje częściej niż raz w roku, czyli ${\displaystyle m>1{:}}$

${\displaystyle V=V_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}.}$

Kapitalizacja następuje raz w roku, przy inflacji rocznej i:

${\displaystyle V=V_{0}\cdot \left(1+r'\right)^{n}\;\ \ r'={\frac {r-i}{1+i}}.}$

gdzie:

${\displaystyle r'}$ – realna stopa procentowa.

Kapitalizacja następuje nieskończenie wiele razy w roku, czyli ${\displaystyle m\to \infty }$:

${\displaystyle V=\lim _{m\to \infty }V_{0}\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mn}=V_{0}\left(\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{m}\right)^{n}=V_{0}\cdot e^{rn}}$

• anatocyzm
• dyskonto rzeczywiste składane
• efekt kuli śnieżnej
• reguła 72

• Maria Podgórska, Joanna Klimkowska, Matematyka finansowa. Warszawa: Wydawnictwo naukowe PWN, 2005.