Tensor krzywizny Riemanna

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity ${\displaystyle \nabla }$ przez formułę:

${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{}w,}$

gdzie ${\displaystyle }$ to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v,}$ istnieje liniowa transformacja ${\displaystyle R(u,v)}$ przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v,}$ oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

${\displaystyle \nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w,}$

która jest także liniowa w ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v.}$ Wówczas:

${\displaystyle R(u,v)=\nabla _{u,v}^{2}-\nabla _{v,u}^{2}.}$

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską).

Liniowa transformacja ${\displaystyle w\mapsto R(u,v)w}$ jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

• Bernhard Riemann
• Elwin Bruno Christoffel
• rozmaitość pseudoriemannowska
• rozmaitość riemannowska

• A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN 1965.
• S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience 1963.
• E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications 1991.
• R. M. Wald, General relativity, The University of Chicago Press 1984.