Weryfikacja hipotez statystycznych

Ten artykuł dotyczy hipotez statystycznych. Zobacz też: inne znaczenia hasła weryfikacja.

Weryfikacja hipotez statystycznych – sprawdzanie sądów o populacji przez badanie jej wycinka (próby statystycznej). Wyróżnia się kilka podejść do problemu weryfikacji hipotez, między innymi:

• wnioskowanie częstościowe, z użyciem P-wartości – służące kontroli błędów decyzyjnych (w szczególności: błędu I i błędu II rodzaju), tak aby w długim horyzoncie czasowym spodziewać się, że nie popełnimy ich częściej, niż założyliśmy (według przyjętego poziomu istotności, np. w 5% przypadków),
• iloraz wiarygodności – służące do rozstrzygnięcia, w jakiej proporcji dane świadczą na rzecz dwóch porównywanych hipotez,
• wnioskowanie bayesowskie, z użyciem czynnika Bayesa – służące do wyrażenia subiektywnej pewności, jaką można, na podstawie danych i wcześniejszych oczekiwań, przypisać danej hipotezie.

Ze względów historycznych w naukach empirycznych najczęściej spotyka się obecnie metody częstościowe. Wiążą się one z szeregiem specyficznych problemów interpretacyjnych, jednak każde z podejść charakteryzują swoiste problemy i ryzyko niezrozumienia oraz nadużyć.

Niech

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }\colon \theta \in \Theta \}.}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby ${\displaystyle {\mathcal {X}},}$ indeksowaną parametrem ${\displaystyle \theta }$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). ${\displaystyle P_{\theta }}$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie ${\displaystyle X.}$

Hipotezą statystyczną ${\displaystyle H}$ jest zdanie postaci ${\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$ gdzie ${\displaystyle \Theta _{0}\subset \Theta }$ koduje własność rozkładu, którą chcemy testować.

Problem weryfikacji hipotezy statystycznej polega na takim podziale przestrzeni próby ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ na rozłączne zbiory ${\displaystyle \mathbf {K} }$ i ${\displaystyle \mathbf {A} ,}$ żeby prawdopodobieństwo warunkowe hipotezy ${\displaystyle P\{\theta \in \Theta _{0}\}}$ było możliwie małe (w pewnym ustalonym sensie) dla ${\displaystyle X\in \mathbf {K} }$ i możliwie duże dla ${\displaystyle X\in \mathbf {A} .}$

Zwykle wybiera się pewną statystykę ${\displaystyle T}$ i buduje zbiór

${\displaystyle \mathbf {K} =\{X\in {\mathcal {X}}\colon T(X)\in \mathbf {K} _{T}\},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathbf {K} _{T}}$ jest tzw. obszarem krytycznym testu, wybranym tak, aby ${\displaystyle P\{T(X)\in \mathbf {K} _{T}|H\}\leqslant \alpha }$

${\displaystyle \alpha }$ jest wybranym prawdopodobieństwem, tzw. poziomem istotności testu, zwykle 0,05 lub 0,01.

Jednostronny obszar krytyczny to obszar postaci ${\displaystyle \mathbf {K} _{T}=\{t\colon t\leqslant t_{\alpha }\},}$ gdzie

${\displaystyle t_{\alpha }}$ jest tzw. wartością krytyczną testu. Jest to największa liczba, dla której ${\displaystyle P\{T(X)\leqslant t_{\alpha }|H\}\leqslant \alpha }$

Dwustronny obszar krytyczny to obszar postaci ${\displaystyle \mathbf {K} _{T}=\{t\colon t\leqslant t_{\alpha 1}\vee t\geqslant t_{\alpha 2}\}}$ gdzie

${\displaystyle t_{\alpha 1}}$ jest największą liczbą dla której ${\displaystyle P\{T(X)\leqslant t_{\alpha 1}|H\}\leqslant {\tfrac {\alpha }{2}}}$

${\displaystyle t_{\alpha 2}}$ jest najmniejszą liczbą dla której ${\displaystyle P\{T(X)\geqslant t_{\alpha 2}|H\}\leqslant {\tfrac {\alpha }{2}}}$

Hipoteza zerowa ${\displaystyle (H_{0})}$ – jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako:

${\displaystyle H_{0}\colon \theta _{1}=\theta _{2}.}$

Hipoteza alternatywna ${\displaystyle (H_{1})}$ – hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania badanego problemu:

${\displaystyle H_{1}\colon \theta _{1}\neq \theta _{2},}$

${\displaystyle H_{1}\colon \theta _{1}>\theta _{2},}$

${\displaystyle H_{1}\colon \theta _{1}<\theta _{2}.}$

Budujemy pewną statystykę W, która jest funkcją wyników z próby losowej ${\displaystyle W=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ i wyznaczamy jej rozkład przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Funkcję W nazywa się statystyką testową lub funkcją testową.

Na tym etapie procedury weryfikacyjnej przyjmujemy maksymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, który polega na odrzuceniu hipotezy zerowej wtedy, gdy jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo to jest oznaczane symbolem ${\displaystyle \alpha }$ i nazywane poziomem istotności. Na ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy, aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze. Najczęściej zakładamy poziom istotności ${\displaystyle \alpha =0{,}05,}$ czasem przyjmuje się np. ${\displaystyle \alpha =0{,}01,\ \alpha =0{,}1.}$

Obszar krytyczny – obszar znajdujący się zawsze na krańcach rozkładu. Jeżeli obliczona przez nas wartość statystyki testowej znajdzie się w tym obszarze, to weryfikowaną przez nas hipotezę ${\displaystyle H_{0}}$ odrzucamy. Wielkość obszaru krytycznego wyznacza dowolnie mały poziom istotności ${\displaystyle \alpha ,}$ natomiast jego położenie określane jest przez hipotezę alternatywną.

Obszar krytyczny od pozostałej części rozkładu statystyki oddzielony jest przez tzw. wartości krytyczne testu ${\displaystyle (w_{\alpha })}$, czyli wartości odczytane z rozkładu statystyki przy danym ${\displaystyle \alpha ,}$ tak aby spełniona była relacja zależna od sposobu sformułowania ${\displaystyle H_{1}.}$

Wyniki próby opracowujemy w odpowiedni sposób, zgodnie z procedurą wybranego testu i są one podstawą do obliczenia statystyki testowej. Większość statystyk testowych, mających dokładny rozkład normalny, ${\displaystyle t}$-Studenta lub graniczny rozkład normalny, obliczamy w następujący sposób:

${\displaystyle W={\frac {a-b}{c}},}$

gdzie:

${\displaystyle W}$ – Statystyka testowa,

${\displaystyle a}$ – Statystyka obliczona z próby,

${\displaystyle b}$ – Hipotetyczna wartość parametru(ów),

${\displaystyle c}$ – Odchylenie standardowe rozkładu statystyki.

Wyznaczoną na podstawie próby wartość statystyki (P-wartość) porównujemy z wartością krytyczną testu.

• Jeżeli wartość ta znajdzie się w obszarze krytycznym, to hipotezę zerową należy odrzucić jako nieprawdziwą. Stąd wniosek, że prawdziwa jest hipoteza alternatywna.
• Jeżeli natomiast wartość ta znajdzie się poza obszarem krytycznym, oznacza to, że brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Stąd wniosek, że hipoteza zerowa może, ale nie musi, być prawdziwa, a postępowanie nie dało żadnych dodatkowych informacji uprawniających do podjęcia decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy zerowej.

Reguły postępowania przy weryfikacji hipotez są określane mianem testów statystycznych.

Zgodnie ze stanowiskiem Amerykańskiego Towarzystwa Statystycznego z 2016 r. P-wartość badania sama w sobie nie niesie informacji o prawdziwości hipotezy badawczej, wartości dowodowej danych czy znaczenia oraz wielkości efektu i nie powinna być traktowana jako samodzielne kryterium poznawcze. Statystycy rekomendują, aby w interpretacji wyników badań uwzględniać ich kontekst i transparentność. Wynik pojedynczego badania ani nawet grupy badań nie uprawniają same przez siebie do uznania żadnej hipotezy, stanowią jedynie słabsze lub mocniejsze ku temu dowody. Dopiero badanie, które jest intersubiektywnie i systematycznie powtarzalne, daje prawo do silniejszych wniosków.

Powyższa standardowa procedura wymaga przyjęcia arbitralnego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ a wynikiem weryfikacji jest odpowiedź binarna – albo statystyka testowa mieści się w przedziale ufności, albo nie.

Alternatywnym i nowocześniejszym, choć mniej popularnym podejściem jest obliczenie zamiast tego surowej p-wartości (prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju) i podawanie jej jako wyników weryfikacji. Dzięki temu nie ma potrzeby przyjmowania a priori żadnych wartości ${\displaystyle \alpha ,}$ pozwala to również na porównywanie istotności różnych konkurencyjnych hipotez statystycznych.

• Poziom istotności ${\displaystyle (\alpha )}$ – założony próg maksymalnego prawdopodobieństwa nieprawidłowego odrzucenia hipotezy zerowej (popełnienia błędu pierwszego rodzaju)
• Moc statystyczna ${\displaystyle (1-\beta )}$ – prawdopodobieństwo prawidłowego przyjęcia hipotezy alternatywnej (niepopełnienia błędu drugiego rodzaju)
• Test najsilniejszy – test, który przy danym poziomie istotności ma największą moc.
• Test najsilniejszy jednoznacznie – test, który ma największą moc dla wszystkich poziomów istotności.
• Test nieobciążony – test, którego moc przewyższa poziom istotności.

• statystyka

• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. Brak numerów stron w książce http://web.archive.org/web/20040921200718/http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)
• Lesław Gajek: Wnioskowanie statystyczne dla studentów. Modele i metody. Warszawa: 1998. ISBN 83-204-2489-5. Brak numerów stron w książce