Czym jest geometria nielinowa?

estadistica
Czym jest geometria nielinowa?

Wstęp

Geometria to dział matematyki zajmujący się badaniem kształtów, wielkości i położeń obiektów w przestrzeni. Jednakże nie każda geometria, która została kiedykolwiek zbadana, opiera się na tradycyjnych założeniach Euklidesa. Wśród nich znajduje się geometria nielinowa.

Geometria nielinowa to dziedzina matematyki, w ramach której badane są przestrzenie o niestandardowych własnościach. Różni się ona od geometrii euklidesowej, która opiera się na pięciu aksjomatach Euklidesa, a jej ramy definiują stosunki przestrzenne, które przestrzeń euklidesowa traktuje jako oczywiste.

Pochodzenie geometrii nielinowej

Istnieje wiele kwadratur koła związanych z historią tej dziedziny. Jedną z nich jest teoria geometrycznego konstrukcjonizmu, która powstała w XIX wieku. W trakcie rozwoju tejże teorii pojawił się problem geometrii nielinowej.

Pierwszym, który zaczął zajmować się badaniem geometrii nielinowej był matematyk Carl F. Gauss. Wykazał on, że metryka, która dotyczy tej dziedziny, może być uogólnieniem metryki euklidesowej, przez dodanie dodatkowo nieliniowych składników.

Przykłady geometrii nielinowej

Wśród przykładów geometrii nielinowej można wymienić między innymi:

  • geometria Riemanna,
  • geometria hiperboliczna Lobaczewskiego,
  • geometria eliptyczna Riemanna-Kleinera.

Geometria Riemanna bada przestrzenie, w których geometryczne właściwości zależą od punktu, tzn. nieliniowe transformacje na pewne wielkości wpływają na kształt krzywizn i metryki przestrzeni badanej.

Geometria hiperboliczna Lobaczewskiego opiera się na aksjomatach przeciwnych do aksjomatów Euklidesa. Przykładem tej przestrzeni są hiperboliczne modele geometryczne, które służą jako uogólnienie płaskiej geometrii euklidesowej.

Geometria eliptyczna Riemanna-Kleinera bada przestrzenie o skończonej wielkości. Podobnie jak w przypadku geometrycznej przestrzeni, punkty na krańcach przestrzeni są ze sobą zszyte, tworząc klasy równoważności.

Wnioski

Geometria nielinowa to dziedzina matematyki, która badanie przestrzenie o niestandardowych własnościach. Dzięki niej odkryto wiele nowych teorii, a rozwiązania, które oferuje, mogą znaleźć liczne zastosowania praktyczne.