Wzory do opisu ruchu obrotowego ciał sztywnych

Wstęp

Ruch obrotowy ciał sztywnych jest jednym z podstawowych zagadnień mechaniki fizycznej. Opisuje on ruch obrotowy ciał sztywnych wokół osi obrotu. W zależności od przyjętego punktu odniesienia, ruch taki może być opisany w różnych układach odniesienia. Istnieje wiele wzorów pozwalających na opisanie ruchu obrotowego ciał sztywnych, które zostaną przybliżone w dalszej części artykułu.

Ruch jednostajny obrotowy ciała sztywnego

Ruch jednostajny obrotowy ciała sztywnego zachodzi, gdy ciało to obraca się z stałą prędkością kątową wokół osi obrotu. Wzór na prędkość kątową to:

v = Δθ / Δt

gdzie:

v - prędkość kątowa
Δθ - zmiana kąta w czasie
Δt - czas

W przypadku ruchu jednostajnego prędkość kątowa jest stała, więc wzór na prędkość kątową upraszcza się do:

v = ω

gdzie:

ω - prędkość kątowa

Natomiast wzór na drogę pokonaną przez obiekt w ruchu jednostajnym obrotowym to:

s = rΔθ

gdzie:

s - droga pokonana przez obiekt w ruchu jednostajnym obrotowym
r - promień koła, po którym porusza się ciało sztywne
Δθ - zmiana kąta w czasie

Przykład

Niech ciało sztywne porusza się po okręgu o promieniu r = 5 cm z prędkością kątową ω = 2 rad/s. W jakim czasie pokona cały okrąg? Wzór na drogę pokonaną przez ciało sztywne to:

s = rΔθ = 5 cm * 2π = 31,42 cm

Czas potrzebny na pokonanie całego okręgu to:

t = s / v = s / ω = 15,71 s

Ruch niejednostajny obrotowy ciała sztywnego

W przypadku ruchu niejednostajnego obrotowego ciała sztywnego, prędkość kątowa nie jest stała. Wzór na przyspieszenie kątowe to:

α = Δω / Δt

gdzie:

α - przyspieszenie kątowe
Δω - zmiana prędkości kątowej w czasie
Δt - czas

Wzór na prędkość kątową w przypadku ruchu niejednostajnego to:

ω = ω0 + αt

gdzie:

ω0 - prędkość kątowa w chwili początkowej
ω - prędkość kątowa w chwili t
α - przyspieszenie kątowe
t - czas

Natomiast wzór na drogę pokonaną przez obiekt w ruchu niejednostajnym to:

s = rΔθ + (1 / 2)αt^2

gdzie:

s - droga pokonana przez obiekt w ruchu niejednostajnym
r - promień koła, po którym porusza się ciało sztywne
Δθ - zmiana kąta w czasie
α - przyspieszenie kątowe
t - czas

Przykład

Niech ciało sztywne porusza się po okręgu o promieniu r = 10 cm. Prędkość kątowa w chwili początkowej wynosi ω0 = 0 rad/s, a po 2 s przyspiesza do wartości ω = 4 rad/s. Obliczyć drogę pokonaną przez ciało sztywne w czasie 5 s. Najpierw obliczamy przyspieszenie kątowe:

α = (ω - ω0) / t = 2 rad/s^2

Następnie, po podstawieniu do wzoru na prędkość kątową, otrzymujemy:

ω = ω0 + αt = 8 rad/s

Wzór na drogę pokonaną przez obiekt w ruchu niejednostajnym to:

s = rΔθ + (1 / 2)αt^2 = 157,08 cm

Zachowanie momentu pędu podczas ruchu obrotowego

Moment pędu jest wektorem, którego wartość wynosi:

L = r x p

gdzie:

L - moment pędu
r - wektor położenia od osi obrotu do punktu, w którym znajduje się ciało sztywne
p - pęd ciała sztywnego

Moment pędu jest wielkością wektorową, co oznacza, że oprócz wartości ma również kierunek i zwrot. Zachowanie momentu pędu podczas ruchu obrotowego jest opisane przez prawo zachowania momentu pędu, które mówi, że moment pędu ciała sztywnego pozostaje stały w przypadku braku sił zewnętrznych. Wzór na prawo zachowania momentu pędu to:

L1 = L2

gdzie:

L1 - moment pędu w chwili początkowej
L2 - moment pędu w chwili końcowej

W przypadku, gdy na ciało sztywne działa siła zewnętrzna, moment pędu ulega zmianie, ale przyspieszenie kątowe i prędkość kątowa pozostają takie same.

Przykład

Niech ciało sztywne o masie m = 1 kg porusza się po okręgu o promieniu r = 10 cm z prędkością kątową ω = 2 rad/s. Obliczyć moment pędu ciała sztywnego. Masa ciała sztywnego wyrażona w kilogramach to:

m = 1 kg

Pęd ciała sztywnego to:

p = m * v = m * r * ω = 0,2 kg*m^2/s

Wektor położenia od osi obrotu do punktu, w którym znajduje się ciało sztywne to:

r = 0,1 m

Stąd wynika, że moment pędu wynosi:

L = r x p = 0,02 kg*m^2/s

Podsumowanie

Ruch obrotowy ciał sztywnych jest jednym z podstawowych zagadnień mechaniki fizycznej. Istnieje wiele wzorów pozwalających na opisanie tego ruchu, m.in. wzory na prędkość kątową, drogę pokonaną przez ciało sztywne oraz moment pędu. Ruch obrotowy ciał sztywnych można podzielić na ruch jednostajny oraz ruch niejednostajny, a moment pędu ciała sztywnego pozostaje stały w przypadku braku sił zewnętrznych. Poznanie tych wzorów pozwala na dokładne opisanie ruchu obrotowego i jest niezbędne w rozwiązywaniu zadań z tej dziedziny mechaniki fizycznej.