Pseudosfera

Pseudosfera – powierzchnia obrotowa utworzona przez obrót traktrysy wokół jej asymptoty^[1]. Była analizowana przez Eugenio Beltramiego w 1868 roku^[1].

Oznaczając przez ${\displaystyle r}$ maksymalną odległość punktów tej powierzchni od jej osi (tzw. promień pseudosfery), dostaniemy dla pseudosfery:

• pole powierzchni: ${\displaystyle S=4\pi r^{2},}$
• objętość przestrzeni ograniczonej pseudosferą: ${\displaystyle V={\tfrac {2}{3}}\pi r^{3},}$
• krzywizna Gaussa: ${\displaystyle K={\frac {-1}{r^{2}}}}$ (z wyłączeniem osobliwości na brzegu).

Pseudosfera jest powierzchnią stałej ujemnej krzywizny odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu promienia, podobnie jak sfera, tyle, że ta druga ma krzywiznę ze znakiem dodatnim^[1]. Dlatego też, o ile na sferze lokalnie realizuje się geometria eliptyczna, o tyle na pseudosferze lokalnie realizuje się geometria hiperboliczna^[1]. Pseudosfera ma pole powierzchni równe polu zwykłej sfery o takim samym promieniu. Objętość przestrzeni ograniczonej pseudosferą o promieniu ${\displaystyle r}$ jest równa połowie objętości kuli o promieniu ${\displaystyle r.}$

• hiperboloida
• powierzchnia Kuena
• róg Gabriela

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pseudosphere, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).
• Pseudo-sphere (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .