Funkcja potęgowa

Funkcja potęgowa – typ funkcji matematycznej, definiowany różnie, zwykle jako rodzaj funkcji rzeczywistej:

• funkcja potęgowa sensu stricto to dowolna funkcja potęgująca swoje argumenty; innymi słowy to potęga, gdzie argument jest podstawą – tak rozumiana funkcja potęgowa jest postaci ${\displaystyle x\mapsto x^{k},\ k\in \mathbb {R} }$^[1];
• funkcja potęgowa sensu largo to uogólnienie powyższego pojęcia i wzoru – dowolna funkcja postaci ${\displaystyle x\mapsto ax^{k},\ a,k\in \mathbb {R} }$^[2].

Dla obu definicji dziedzina funkcji zależy od wykładnika, wyżej oznaczonego literą ${\displaystyle k\colon }$

• jeśli wykładnik jest naturalny i dodatni ${\displaystyle (k\in \mathbb {N} _{+}),}$ to dziedziną jest cały zbiór liczb rzeczywistych^[1]; takie funkcje potęgowe należą do funkcji wielomianowych;
• ${\displaystyle k=0}$ – dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, funkcja przyjmuje postać funkcji stałej;
• jeśli wykładnik jest całkowity i ujemny ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} _{\leqslant -1}),}$ to dziedziną jest zbiór niezerowych liczb rzeczywistych^[1];
• ${\displaystyle k={\tfrac {n}{m}}>0,}$ dla całkowitych, względnie pierwszych liczb ${\displaystyle m,n}$ – dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dla ${\displaystyle m}$ nieparzystych, dla ${\displaystyle m}$ parzystych dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych;
• ${\displaystyle k={\tfrac {n}{m}}<0,}$ dla całkowitych, względnie pierwszych liczb ${\displaystyle m,n}$ – dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych bez zera dla ${\displaystyle m}$ nieparzystych, dla ${\displaystyle m}$ parzystych dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich;
• ${\displaystyle k\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ – dla ${\displaystyle k}$ dodatnich dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, dla ${\displaystyle k}$ ujemnych dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich^[3].

Rozważa się też funkcje potęgowe o argumentach zespolonych^[4].

Zobacz publikację Funkcja potęgowa i jej własności w Wikibooks

• jednomian