W tym artykule omówimy temat Równanie przewodnictwa cieplnego, koncepcji, która intryguje ludzkość od wieków. Od jego powstania po znaczenie w dzisiejszym społeczeństwie, Równanie przewodnictwa cieplnego był przedmiotem debaty i fascynacji w wielu obszarach. Na przestrzeni dziejów Równanie przewodnictwa cieplnego odgrywał kluczową rolę w kształtowaniu myśli, działań i przekonań w różnych kulturach na całym świecie. Co więcej, jego wpływ rozciąga się na obszary tak różnorodne, jak nauka, religia, polityka i kultura popularna. W tym artykule zagłębimy się w fascynujący świat Równanie przewodnictwa cieplnego, badając jego wiele aspektów i wpływ na współczesne społeczeństwo.
Wykres zmian temperatury kwadratowej płyty, obliczony z równania ciepła. Wysokość i zaczerwienienie wykresu określają temperaturę w punktach płyty. Stan początkowy obejmuje równomiernie gorący obszar w kształcie kopyta (czerwony) otoczony równomiernie zimnym obszarem (żółty). W miarę upływu czasu ciepło rozprzestrzenia się w zimnym obszarze.Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.
Przypuśćmy, że ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest Wówczas
dla każdego Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każdego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:
Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m²/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.
Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła
Niech ustalony czas, oraz ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy oraz Wówczas
Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i „uśredniać”, zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.
Wyprowadzenie równania przewodnictwa
Interpretujemy funkcję jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.
Ponadto zakładamy, że każdy obszar ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:
W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.
W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.