Wyznacznik (franc. determinant) – liczba lub ogólniej wartość przypisana macierzy kwadratowej A {\displaystyle A} oznaczana jako det A {\displaystyle \det A} . Wartość ta jest otrzymywana przez odpowiednie przemnożenie i dodawanie wartości macierzy (zob. sekcję Obliczanie wyznaczników).
Wyznaczników używano pierwotnie głównie do rozwiązywania układów równań liniowych, choć obecnie używa się ich w różnych obszarach algebry, geometrii i analizy; zob. sekcję Zastosowania.
Pierwotnie wyznacznik mógł być wyłącznie liczbą rzeczywistą, ale późniejsze uogólnienia pozwoliły na obliczanie wyznaczników z macierzy o innych wartościach, na których można wykonać odpowiednie operacje, czyli na macierzach o wartościach będących elementami pierścienia przemiennego. Formalne definicje wyznaczników znajdują się w sekcji Definicje wyznacznika.
Podstawy wyznaczników zostały stworzone w XVIII wieku przez Gabriela Cramera jako metoda rozwiązywania układów równań liniowych. W 1750 opublikował on swoje teorie dotyczące algebry w książce Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, w której znalazły się między innymi metody rozwiązywania równań znane dzisiaj jako wzory Cramera.
W czasach Cramera nie istniały liczby zespolone (1832) ani algebra abstrakcyjna (XIX wiek), stąd też wyznacznikiem była liczba rzeczywista. Nawet w literaturze XX-wiecznej spotyka się określenie mówiące, że wyznacznik jest liczbą. Uogólnienie teorii wyznaczników na innego rodzaju wartości macierzy przyszły później.
Teorie i dowody związane z wyznacznikami były rozwijane w XVIII wieku przez Laplace’a w jego dyskusjach opublikowanych w 1772 roku i równolegle przez Vandermonde’a, a w kolejnych latach przez Cauchy’ego i w XIX wieku przez Jacobiego. To trzeci z nich wprowadził istotne uogólnienie wyznaczników, stosując je do operacji na pochodnych funkcji (macierz Jacobiego). Rozwój algebry abstrakcyjnej pozwolił uogólnić wyznaczniki do macierzy z wartościami będącymi elementami pierścienia przemiennego.
Wyznacznik macierzy kwadratowej M {\displaystyle M} .
o wyrazach a i j {\displaystyle a_{ij}} oznaczany jest jako det M {\displaystyle \det M} lub d e t {\displaystyle det} lub | a i j | {\displaystyle |a_{ij}|}Dla macierzy:
M = {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}}stosuje się rozwinięte oznaczenia wyznacznika:
| a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n | {\displaystyle \left|{\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right|} lub det . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}.}Notacja | a i j | {\displaystyle |a_{ij}|} norm macierzy i wartości bezwzględnej.
jest powszechnie używana (zwłaszcza jej rozwinięta forma), chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ podobnego zapisu używa się również dlaWyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników
a 11 , … , a 1 n , … , a n 1 , … a n n . {\displaystyle a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{n1},\dots a_{nn}.}Jest on wówczas wielomianem n 2 {\displaystyle n^{2}} zmiennych stopnia n {\displaystyle n} o współczynnikach, które są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
Oznaczamy macierz A ∈ M n × n ( R ) , {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} ),} pierścienia przemiennego R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Wyznacznikiem macierzy det A {\displaystyle \det {A}} nazwiemy element pierścienia R {\displaystyle \mathbb {R} } spełniający:
czyli macierz kwadratową n-stopnia o elementach zJeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż j {\displaystyle j}
-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż i {\displaystyle i} -tego wiersza.Niech A ∈ M n × n ( R ) {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} :
det A = ∑ σ ∈ S n ( − 1 ) I n v ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋅ a 2 σ ( 2 ) ⋅ … ⋅ a n σ ( n ) , {\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},} jest macierzą. Wówczasgdzie S n {\displaystyle S_{n}} permutacji zbioru { 1 , 2 , … , n } , {\displaystyle \{1,2,\dots ,n\},} zaś I n v ( σ ) {\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} oznacza liczbę inwersji danej permutacji σ ∈ S n . {\displaystyle \sigma \in S_{n}.}
oznacza zbiór wszystkichPrzykładowo składnik a 13 a 21 a 34 a 42 {\displaystyle a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}}
τ = ( 1 2 3 4 3 1 4 2 ) , {\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{pmatrix}},} w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksówma trzy inwersje, mianowicie: ( 3 , 1 ) , {\displaystyle (3,1),}
( 3 , 2 ) {\displaystyle (3,2)} i ( 4 , 2 ) , {\displaystyle (4,2),} skąd I n v ( τ ) = 3 {\displaystyle \mathrm {Inv} (\tau )=3} oraz ( − 1 ) 3 = − 1. {\displaystyle (-1)^{3}=-1.}Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:
det p A = ∑ σ ∈ S n ( p ) I n v ( σ ) a 1 σ ( 1 ) ⋅ a 2 σ ( 2 ) ⋅ … ⋅ a n σ ( n ) , {\displaystyle \det _{p}A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(p)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},}gdzie A , {\displaystyle A,}
S n , {\displaystyle S_{n},} I n v ( σ ) {\displaystyle \mathrm {Inv} (\sigma )} jak wyżej.Przykładowo dla p = − 1 {\displaystyle p=-1} permanent.
otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla p = 1 {\displaystyle p=1} otrzymujemyNiech A ∈ M n × n ( R ) {\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )} przestrzeni liniowej R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone A 1 , A 2 , … , A n . {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}.} Każda z tych kolumn jest wektorem zWyznacznikiem macierzy ( A 1 , A 2 , … , A n ) {\displaystyle (A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}
jest funkcja det : M n × n ( R ) → R {\displaystyle \det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} } spełniająca:Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.
Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:
det A = | a 11 a 12 a 21 a 22 | = a 11 a 22 − a 12 a 21 {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:
det A = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 − a 21 a 12 a 33 − a 11 a 32 a 23 − a 31 a 22 a 13 {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.
Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:
Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.
Niech zapis
( A 1 , … A i , … , A n ) {\displaystyle (A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})}oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe A 1 , … A i , … , A n . {\displaystyle A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n}.}
Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:
Wówczas
Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dla k = 0 {\displaystyle k=0}
det ( A 1 , … , A i , … , A j , … , A n ) = 1 k det ( A 1 , … , k ⋅ A i , … , A j , … , A n ) = 1 k det ( A 1 , … , k ⋅ A i , … , A j + k ⋅ A i , … , A n ) = det ( A 1 , … , A i , … , A j + k ⋅ A i , … , A n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}} dowód jest trywialny, niech więc k ≠ 0 : {\displaystyle k\neq 0{:}}Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
det ( A 1 , … , A i , … , A j , … , A n ) = det ( A 1 , … , A i , … , A j − A i , … , A n ) = det ( A 1 , … , A i + ( A j − A i ) , … , A j − A i , … , A n ) = det ( A 1 , … , A j , … , A j − A i , … , A n ) = det ( A 1 , … , A j , … , A j − A i − A j , … , A n ) = det ( A 1 , … , A j , … , − A i , … , A n ) = − det ( A 1 , … , A j , … , A i , … , A n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i}+(A_{j}-A_{i}),\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i}-A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}}Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.
Wyznaczniki stosuje się w co najmniej kilku działach matematyki jak:
Niektóre typy macierzy |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
Operacje na macierzach |
| ||||
Niezmienniki |
| ||||
Inne pojęcia |
forma liniowa | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
formy dwuliniowe i półtoraliniowe | |||||||
iloczyny skalarne |
| ||||||
formy kwadratowe | |||||||
tensory |