Równanie Pella

Równanie Pella – równanie diofantyczne postaci

${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1}$

gdzie ${\displaystyle D}$ jest liczbą całkowitą dodatnią. Równanie to dla ${\displaystyle D}$ będącego kwadratem liczby całkowitej posiada jedynie rozwiązania ${\displaystyle (1,0)}$ oraz ${\displaystyle (-1,0),}$ zaś dla ${\displaystyle D}$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej posiada nieskończenie wiele rozwiązań.

Dla ${\displaystyle D=n^{2},}$ gdzie ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ otrzymujemy równanie ${\displaystyle x^{2}-n^{2}y^{2}=1,}$ czyli ${\displaystyle (x-ny)(x+ny)=1,}$ co jak łatwo zauważyć faktycznie w liczbach całkowitych posiada jedynie rozwiązania ${\displaystyle (1,0)}$ oraz ${\displaystyle (-1,0).}$

Dla ${\displaystyle D}$ niebędącego kwadratem liczby całkowitej istnieje algorytm konstruujący nieskończenie wiele rozwiązań.

Niech ${\displaystyle {\frac {l_{n}}{m_{n}}}}$ będzie ciągiem ułamków łańcuchowych dla liczby ${\displaystyle {\sqrt {D}}.}$ Sprawdzamy pary liczb ${\displaystyle (l_{n},m_{n})}$ aż któraś z nich będzie spełniać równanie Pella, taki moment nastąpi o ile ${\displaystyle D}$ nie jest kwadratem liczby całkowitej. Z tej pary liczb (oznaczmy ją jako ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$) można wygenerować nieskończenie wiele innych (istotne jest to, że w tej parze ${\displaystyle y_{1}\neq 0,}$ w przeciwnym razie jako parę początkową można by brać parę ${\displaystyle (1,0)}$).

Zauważmy, że skoro ${\displaystyle x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2}=1,}$ to ${\displaystyle (x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})=1.}$ Oznaczmy przez ${\displaystyle x_{n}}$ i ${\displaystyle y_{n}}$ liczby spełniające równanie ${\displaystyle (x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {D}}.}$ Wówczas spełnione będzie równanie ${\displaystyle (x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=x_{n}-y_{n}{\sqrt {D}},}$ gdyż współczynnik całkowity wyrażenia po lewej stronie pozostanie taki sam jak był, a współczynnik przy ${\displaystyle {\sqrt {D}}}$ jedynie zmieni znak. Zatem

${\displaystyle x_{n}^{2}-Dy_{n}^{2}=(x_{n}+y_{n}{\sqrt {D}})\cdot (x_{n}-y_{n}{\sqrt {D}})=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}})^{n}\cdot (x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}})^{n}=(x_{1}^{2}-Dy_{1}^{2})^{n}=1^{n}=1.}$

Z pewnością pary ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ są parami różne (gdyż ${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}\neq 1}$), a zatem istotnie dostajemy nieskończenie wiele różnych rozwiązań równania Pella.

Znajdźmy kilka rozwiązań równania Pella dla ${\displaystyle D=3.}$ Generowane ułamki łańcuchowe to ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {5}{3}},\dots }$ Już para ${\displaystyle (x,y)=(2,1)}$ spełnia równanie ${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1.}$ Mamy zatem ${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(2,1).}$

Podnosimy więc do kolejnych potęg wyrażenie ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}}).}$ Mamy zatem:

• ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{2}=7+4{\sqrt {3}},(x_{2},y_{2})=(7,4),}$ faktycznie ${\displaystyle 7^{2}-3\cdot 4^{2}=49-3\cdot 16=1}$
• ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{3}=26+15{\sqrt {3}},(x_{3},y_{3})=(26,15),}$ faktycznie ${\displaystyle 26^{2}-3\cdot 15^{2}=676-3\cdot 225=1}$

• Równanie Pella

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pell Equation, MathWorld, Wolfram Research   (ang.).
• Pell equation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org .